СВЕТИТ ЛИ АРМИЯ

К сожалению, с бронхиальной астмой ваш сынишка скорее всего не пройдет медкомиссию (ВВК) - для поступления в ВМА. 
Бронхиальная астма регламентирована статьей 52 Расписания болезней. Все пункты данной статьи являются непризывными (и непроходными для поступления в ВУ, ВМА).
Бронхиальная астма:
в) легкой степени, а также при отсутствии симптомов в течение 5 лет и более при сохраняющейся измененной реактивности бронхов;
К пункту "в" относится бронхиальная астма с непродолжительными симптомами реже 1 раза в день, которые легко купируются бронхорасширяющими средствами, при отсутствии симптомов и нормальной функцией легких между обострениями, с суточными колебаниями ПСВ или ОФВ1 менее 20 процентов и ПСВ или ОФВ1 более 80 процентов должных значений в межприступный период.
Освидетельствование при впервые выявленных признаках бронхиальной астмы проводится только после обследования в стационарных условиях.
При наличии бронхиальной астмы, подтвержденной медицинскими документами о лечении в стационарных условиях и обращениях за медицинской помощью, заключение о категории годности к военной службе граждан, освидетельствуемых по графам I, II, III расписания болезней (за исключением военнослужащих, проходящих военную службу по призыву), может быть вынесено без обследования в стационарных условиях.
При отсутствии документального подтверждения анамнеза заболевания верифицирующими тестами диагноза бронхиальной астмы при стойкой ремиссии являются фармакологические и (или) физические бронхопровокационные тесты. Дополнительным критерием может служить исследование в крови общего и (или) специфического иммуноглобулина E.

Будет не годен по ВВК.

Не годен к поступлению  ВМА